ECUACIONES LINEALES

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN LINEAL

PRIMER PASO: PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN

3(x+4)-5(x+2)= -7+2(x-3) 

SEGUNDO PASO: APLICAR DISTRIBUTIVA 

Para quitar paréntesis simplemente utilizo distributiva y nos quedaría la siguiente ecuación.

3x+12-5x-10 = -7+2x-6

TERCER PASO:

Separo los números que tengan misma variable a un lado y números que no tengan variable al lado contrario, al momento de hacer esta distribución se debe tener en cuenta que al momento de pasar un número al lado contrario este automáticamente cambia de signo:

3x-5x-2x = -7-6-12+10

CUARTO PASO:

3x-5x-2x = -7-6-12+10

                                                                    -4x       =     -15

X =   15/4   

     

     

QUINTO PASO: COMPROBAR SI EL RESULTADO DE LA ECUACIÓN ES CORRECTO

Para comprobar si el ejercicio nos quedó bien resuelto lo único que debemos hacer es reemplazar en este caso el valor de X en la ecuación lineal y este nos debe dar un mismo resultado en ambos lados así

3 (15/4+4)-5(15/4)+2 = -7+ 2(15/4-3)  

                                           
                                                                   -11/2  = -  11/2  

PRACTIQUEMOS

1.  
9x+[-7x+(-x+25)]=12-[-(3x+2)-(3x-4)]
9x+[-7x-x+25]=12-[-3x-2-3x+4]
9x-7x-x+25=12+3x+2+3x-4
9x-7x-x-3x-3x=12+2-25    
   -5x           =     -15

X=  (-15)/(-5)      
X = 3

EJERCICIO DE PRUEBA


9(3)+[-7(3)+(-3+25)]=12-[-(3(3)+2)-(3(3)-4)]

                     28        =         28

2.

-5x-[-x-(-2x+5)]=-8-[-(4x+8)-(2x+3)]

-5x-[-x+2x-5]=-8-[-4x-8-2x-3]

 -5x+x-2x+5=-8+4x+8+2x+3

  -5x+x-2x-4x-2x=-8+8+3-5               

     -12x = -2      

        X=2/12                
        X=1/6        

EJERCICIO DE PRUEBA

-5(1/6)-[-1/6-(-2(1/6)+5)]=-8-[-(4(1/6)+8)-(2(1/6)+3)]
                   
                         4  =  4              

3.                                                                
4(x-3)-5(6-2x)=5(3x-8)-2(x-16)
4x-12-30+10x=15x-40-2x+32
4x+10x-15x+2x=-40+32+12+30

             1x        =       34
                    X=34

Ejercicio de prueba
               
4(34-3)-5(6-2(34))=5(3(34)-8)-2(34-16)

                434       =  434
   
4.
10x-(8x-5)=7x-(5-9x)+(-3x-45)
10x-8x+5=7x-5+9x-3x-45
10x-8x-7x-9x+3x=-5-45-5
         -11x  =  -55

X=  (-55)/(-11)          X=5


Ejercicio de prueba

10(5)-(8(5)-5)=7(5)-(5-9(5))+(-3(5)-45)
                    15  =  15


5.
(8w-7)/4+(9-3w)/2-1=w-5(2w-3)/2
8w/4-7/4+9/2=(3w )/2-1=w-10w/2+15/2
8/4 w-3/2 w-w+10/2 w=-15/2+7/4-9/2+1
              9/2w        =           23/4

X= 23/4                       X=23   
   9/2                              18         


6.
(8-2x)/3+(5-2x )/7+4=5-(8x-6)+1/2
8/3-2x/3+5/7-2x/7+4=5-8x+6+1/2
-2/3 x-2/7 x+8x=5+6+1/2-8/3-5/7-4
       148/21x     =      173/42
 
 X=(173/42)/(148/21)
 X=  173/296


7.
(3y-4)/6+(8y-2)/3+1=5(3y-4)-2
3y/6-4/6+8y/3-2/3+1=15y-20-2
3/6 y+8/3 y-15y=-20-2+4/6+2/3-1
            -71/6 y=  -65/3
            Y=   -65/3
                    -71/6  

  8.
6+(2z-5)-(3z+4)-(z+1)/2=2
6+2z-5-3z-4-z/2-1/2=2
2z-3z-1/2 z=2-6+5+4+1/2
-3/(2  )z= 11/2

Z=  (11/2)/(-3/2)

  Z=-11/3

9.
(7x-4)/2-(3x-2)/5+2=(6x-3)/4
7x/2-4/2-3x/5+2/5+2=6x/4-3/4
7/2 x-3/5 x-6/4 x=-3/4+4/2-2/5-2
      7/(5 )x          =    -  23/20

X=(-23/20)/(7/5)      

  X=  (-23)/28

10.

-1/8 (5/3-2x/5)+3(x-2/7)=5(1-x)+3/2 (2x/7)+1
-5/24-1/20 x+3x-6/7=5-5x+3x/7+3/2
1/20 x+3x+5x-3/7 x   =5+3/2+5/24+6/7
          1067/140x=  1271/168

X=(1271/168)/(1067/140)x
X=6355/640

INTERÉS SIMPLE

Es aquel que se obtiene sobre el capital inicial pero no es acumulativo.



Vp = Valor presente
Vf  = valor futuro
 i    =Tasa de interes
I     = interés o ganancia
t    =  Tiempo

Fórmula para encontrar el VALOR FUTURO  (VF)
VF=VP(1+i*t)

Fórmula para encontrar el INTERÉS O GANANCIA (I)
I=VP*i*t

Fórmula para encontrar el Tiempo (t)
Vf= vp(1+i*t)

Vf/Vp=1+i*t
VF/Vp-1=i*t

(Vf-Vp)/Vp=i*t

(Vf-Vp)/(Vp*i) = t



EJEMPLO:


Una compañía solicita un préstamo de $18.000.000 por 2 años a una tasa de interés Simple trimestral de 5,4%  ¿Cuál es el valor total que debe pagar por el préstamo solicitado.

Los datos que nos dan para plantear el problema son:

Vp = 18.000.000
Vf =?
 i =    5,4% Trimestral   5,4/100=0,054
t =   2 años       t= 8 trimestres

Los datos que nos dan para solucionar este ejercicio son Valor Presente (vp),  tasa de interés (i) y el tiempo (t).
Debemos tener en cuenta que el tiempo que nos dan es en años pero el interés es un interés que se aplica trimestral, por lo tanto debemos representar estos dos años en trimestres y en este caso serían 8 trimestres.
Igualmente debemos tener en cuenta que el interés lo debemos pasar a decimal dividiéndolo entre 100.

Para encontrar entonces el valor total que se debe pagar por el préstamo solicitado que en este caso sería el vf (valor futuro) aplicamos la formula.

Vf = vp (1+i*t)

Vf =18.000.000(1+0,054*8)  =  25.776.000


*Se firmó una letra por 9.000.000 pagadera dentro de 18 meses a una tasa de interés simple mensual del 1,9%.

Cuál es el valor total que se debe pagar por la deuda adquirida si se paga por el periodo pactado.
La tasa de interés de mora para la deuda adquirida es del 2,5% ¿Cuánto se debe pagar si se paga 5 meses después del periodo pactado?

Vp = 9.000.000
Vf =?
 i = 1,9% mensual 1,9/100 = 0,019
t =18 meses


Vf = 9.000.000(1+0,019*18)
Vf = 12.078.000

Vfm =vf (1+im*tm)
Vfm =12.078.000(1+0,025*5)
Vfm = 13.587.750


*Si por un préstamo de 12.700.000 se pagaron en total 18.300.000 a una tasa de interés simple mensual de 3,2%, a que tiempo se pactó la transacción comercial.

Vp = 12.700.000
Vf = 18.300.000
i = 3,2%   3,2/100=0,032 mensual
t=?

(Vf-Vp)/(Vp*i) = t

t=(18.300.000-12.700.000)/(12.700.000*0.032)=13

t = 13 meses

Se invierte una suma de $20.000.000 a una tasa de interés simple de 12% mensual, encontrar el valor a recibir en 6 meses.

Vp = 20.000.000
Vf= ?
i= 12% mensual   0,12 mensual
t  = 6 meses


Vf= 20.000.000(1+0.12*6)

Vf =34.400.000

Calcular el interés que se debe pagar por un préstamo de 250.000 al 10% de interés simple en 240 días.

I = ?
Vp = 250.000
i= 10%
t= 240 días

Vp*i+t

I= 250.000*0,1+240 = 6.000.000
I= 6.000.000


*Si se deposita 1.000.000 en una cuenta que paga al 2% mensual con interés simple, a los 4 meses cuanto se tiene de acumulado.

Vp = 1.000.000
i =  2% mensual   0.02
t= 4 meses
Vf= ?

1.000.000(1+0,02*4) = 1.080.000

Vf= 1.080.000

*Se solicita un préstamo de 3.000.000  a tres años al 14% anual de interés  simple ¿Cuánto dinero pagar al cabo de los 3 años?

Vp = 3.000.000
Vf= ?
t= 3 años
i= 14% anual
vf= 3.000.000(1+0,14*3)=4.260.00
vf= 4.260.000


*Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25.000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6% anual.


Vp= 25.000
t = 4 años
i= 6 % anual   0,06
I=?     Vp*i*t


25.000*0,06*4= 6.000
I= 6.000

*Calcular el interés simple producido por 30.000 pesos durante 90 dias a una tasa de interés anual del 5%.

Vp= 30.000
t = 90 dias
i= 5% anual     0,05/360= 0,00013
I= ?

30.000*0.00013*90=351                  I= 351

*Un préstamo de 20.000.000 se convierte al cabo de un año en 22.400.000 pesos ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?

Vp =20.000.000
t = 1 año
vf= 22.400.000
i= ?

(Vf-Vp)/(Vf*t) = i

(22.400.000-20.000.000)/(22.400.000*12)=0.008

i = 0.008